Aspect thermique théorique global

Trop souvent les études effectuées ne sont que partielles en ne faisant intervenir que la chaleur spécifique ou les effets de paroi. En régime transitoire la puissance de la chaudière est principalement utilisée pour réchauffer l'air ambiant à l'intérieur de l'immeuble. Au fur et à mesure que cet air se réchauffe une partie d'autant plus grande de la puissance consommée est dissipée vers l'extérieur par conduction au travers des murs des fenêtres et des plafonds terrasses. Lorsque l'on atteint le régime permanent la température de l'air ambiant n'augmente plus et la puissance fournie par la chaudière est entièrement dissipée par conduction au travers des parois. (En l'absence de ventilation)

Le principe de la conservation de l'énergie permet d'écrire que pendant un temps dt  l'énergie fourni par la chaudière a été utilisée à deux fins:

 - La première a servi à élever de dθ la température du volume d'air V soit Vc dθ  
       c_a étant la chaleur volumique de l'air en joule/m³ et °C  sensiblement 10⁴ joule/m³ et °C

 - La deuxième a été rayonnée vers l'extérieur et a pour valeur ζ S θ dt  
(ζ étant le coefficient de déperdition des parois exprimé en Watt/m² et °C et S la surface des parois)

On a donc P étant la puissance de la chaudière en watt  Pdt = Vc_a dθ + ζ S θ dt   1)

En divisant par dt  on a :

P = Vc_a + ζ S θ   soit  en utilisant la transformée de Laplace p       P = Vc_a p θ + ζ S θ

 

Et   θ/P =  1/ ( ζ S (1+t p)  2)  avec une constante de temps t = Vc_a / ζ S

 

Le comportement thermique de notre immeuble est donc régit par une fonction linéaire du premier ordre. Si l’on coupe la chaudière en hiver alors qu’il fait une température extérieure de 0°C

(échelon de Dirac) on peut donc savoir qu’elle est la variation de la température de l’air dans les appartements en fonction du temps  θ = f(t)
La fonction est exponentielle :

 

Temps nécessaire pour élever la  température de q         t = -ln(1- (4,18 z Sq/P)) /t  

Variation de la température dans les appartements lorsqu'on arrête la chaudière      q = qo e ^-At 

Avec une isolation par l‘extérieure il faut tenir compte en complément de la chaleur spécifique de l’air de celle des murs en béton ( c_b = 500 kcal/m³ °C) ce qui augmente sensiblement la constante de temps.          L’équation 1) devient  P = (V_a c_a+ m_b c_b)  p θ + ζ S θ

 V_b  étant le volume de béton et   c_b sa chaleur spécifique

 

Soit θ/P =  1/ ( ζ S (1+t p)   avec une nouvelle constante de temps t =  (V_a c_a+ m_b c_b) / ζ S    sensiblement plus importante.

 

Application numérique  (simplifiée)

 

1) Avant isolation

 

Hypothèses   
Notre grand immeuble datant de 1968 a été assez bien isolé pour l’époque mais est très en retard par rapport aux normes actuelles. Il consomme  bon an mal an 150 m³ de fioul par an soit sur la base de l' équivalent calorifique de un litre de fuel (10 kWh) 1 500 000 kWh par an

Pour simplifier disons qu'il comprend une centaine de petits appartements de 60m² soit une surface habitable totale de 6 000 m². Cet immeuble, pourtant correctement isolé pour l’époque a donc un coefficient moyen de déperdition par m² habitable de l’ordre de 250 kWh/par an nettement supérieur aux normes actuelles (80 kWh/par an en 2000 et évoluant vers 50 en 2020). La précision de ces derniers coefficients ne tiennent pas compte de la température extérieure. Cela pourrait laisser supposer que notre immeuble qui n'a dépensé "que" 115 m³  le dernier hiver s'est soudainement amélioré sur le plan thermique.

La consommation au titre du sanitaire estimée à 33% est difficilement compressible sans affecter notre confort. Par contre il semble acquit au travers de cette application numérique qu'un économie de 30% sur la part d'énergie hors sanitaire soit possible. Soit une économie de 300 000 à 500 000 kWh par an et une nouvelle consommation effective de 100 à 120 m3 au lieu de 150 sur la base d'une température extérieure sensiblement équivalente.

Courbes de consommation en fioul de notre immeuble(données Scholer)   figure 2
(Puissances calculées sur la base de l' équivalent calorifique de un litre de fuel (10 kWh)

L'examen des courbes de consommation en fuel de l'hivers 2004-2005 serait encore plus instructive si nous avions la courbe de l'évolution des températures extérieure pendant cet hiver particulier.

La demande a été faite à Madame Scholer de passer une cde à Météo France qui garde dans ses bases de données ce type d'information. Il faut payer pour être informé ce qui est inacceptable mais comment faire. Je serai malgré tout personnellement favorable d'effectuer cette dépense. (coût 43 EUROS)

En supposant que la température entre novembre 2004 et mars 2005 ait été de 0°C et que la puissance moyenne affectée au chauffage n'ait été que de 70% de notre consommation totale (nous pourrons affiner ce coefficient après la première tranche de travaux chaufferie) de cette valeur soit 175 kw cela conduit à une consommation en kwh sur 5 mois de 175 x 5 x 30 x 24 = 630 000 kWh et à une déperdition moyenne ζ en Watt/m² et °C de   
175 000 / (4500  x 20) = 2 watt / m² et °C compte tenu de la surface totale des parois (terrasses, murs, surfaces vitrées et sous sol) S en m²  estimé de l’ordre de 4500 m² ce qui n'est pas trop mauvais. En l’absence relevé Météo France, fourchette basse avec -5°C :  1,6 watt / m² et °C

Fourchette haute avec +5°C :  2,7 watt / m² et °C

 

   A ) Gradian maximum de montée en température en régime transitoire.

Pour l'obtenir il suffit d'écrire que l'énergie fournie par la chaudière au début de la chauffe part uniquement en élévation de la température de l'air (température suffisamment proche de la température extérieure dans les appartements pour que la déperdition par les murs soit négligeable). Soit P dt = V c dθ   ou  dθ / dt = P/ Vc = 20 104 / 16 000 x 1250 = 0,0186 °C/seconde (1,12°C/mn) soit une constante de temps du transitoire t1 égale à 20/0,0186 = 1075 s   Si la chaudière est mise en marche alors que la température dans les appartement est égale à la température extérieure de 0°C la température maximum de 20°C dans les appartement est                   sensiblement atteinte après un temps de montée en température de 4 t1 = 71 minutes soit  environ 1h ¼ La connaissance de la constante de temps du transitoire t =Vc /ζ S = 1075 s *   permet de calculer le coefficient de déperdition moyen des parois  ζ1 = Vc / t S =  (16 000 x 1250) / (1075x4700) » 4 watt /m² et °C

Figures 3

  

 B) Gradian maximum de chute de température lorsque l'on arrête la chaudière (régime transitoire)

Pour l'obtenir il suffit d'écrire que lorsque l'on coupe la chaudière alors que l'on avait atteint la température maximum de stabilisation θmax = 20°C l'énergie dissipée par les murs continue à être égale momentanément à celle qui était fournie par la chaudière avant la coupure. Soit en faisant P = 0 dans la formule 1)  Vc dθ + ζ S θmax dt = 0   soit   dθ / dt = - ζ S θmax / Vc = 4 x 4700 x 20 / 15600 x 1250   = - 0,0186 °C/seconde on retrouve (en valeur absolue) le même gradian maximum au début du refroidissement.    Ce résultat est d’ailleurs conforme aux deux formules  2) et 3) ci-dessus la constante de temps du transitoire étant la même que l’on soit en phase de réchauffement où de refroidissement.

 Au bout d’un temps de l’ordre de environ 1h ¼  la température dans les appartements est sensiblement égale à la température de 0°C extérieure ce qui laisse bien peut de temps pour réparer la chaudière !  En pratique l'inertie thermique des murs augmente notablement ce temps. Des enregistrements de la température à l’intérieur du bâtiment lorsque l’on arrête la chaudière sont très utiles sur la qualité de l’isolation de celui-ci. Deux enregistrements comparatifs effectués avant et après les travaux d’isolation avec des conditions initiales comparables, sont encore plus instructifs. Ils permettent de vérifier la qualité des travaux effectués pour l’isolation. Le deuxième enregistrement permet de dimensionner la nouvelle chaufferie pour satisfaire le nouveau besoin en énergie thermique.

Il n’est pas besoin de grelotter pour avoir une bonne idée de la qualité de l’isolation de l’immeuble.

La mesure du temps qui s’écoule entre l’instant où l’on coupe la chaufferie avec une température initiale, de par exemple 20°C, et celui où l’on atteint une température sensiblement plus basse disons 17°C est suffisante.

  

* Nota

Il convient toutefois de noter que la constante de temps de l’immeuble avant isolation t ₁ sera en pratique supérieure à 1075 s . En effet l’isolation en polyéthylène (voir clégécel) entre la brique platrière et le béton abaisse la température du béton mais pas au point de le mettre au même niveau que la température extérieure.  Avec  ζ_p =   0,8  watt/m² °C pour la couche de polystyrène et  ζ_b = 10  watt/m² °C pour les 20 cm de béton, le flux thermique traversant ces 2 couches avec 0°C à l’extérieur et 20°C dans les pièces étant le même on peut écrire  10 Dq_b = 0,8  Dq_p     1)  avec Dq_b  + Dq_p    = 20   ou   Dq_b  = 20 - Dq_p   2)   soit en remplaçant Dq_b par sa valeur dans 1)

 
10 x (20 - Dq_p )  = 0,8 Dq_p   d’ou  10,8 Dq_p = 200  et  Dq_p = 18,5 °C  et  Dq_b  = 1,5 °C

L’énergie contenu dans le béton, même s’il est beaucoup plus froid qu’après la pose de la vêture isolante est loin d’être négligeable   
Q  = ½ mc_b (θ₁ – θ₂ )= ½ 960 000 x0,84 x1,5= 604 000 kilojoules

Soit  une augmentation de la constante de temps en raison de l’inertie thermique du béton de

t₂   = 604 000 x 10³ / (4 x 4700) = 32 000 secondes

Soit une constante de temps avant isolation de t =  t₁ + t₂ = 1075 + 32 000 = 33 000 s

Soit environ 9 h (au bout de ce temps la température  a sensiblement chutée de moitié)

 

Le temps mis pour que la température chute de 3°C dans les appartement lorsque l'on arrête la chaudière alors qu'il fait 5 °C extérieur et environ 20°C intérieur devrait donc être de l'ordre de

(33000 x 3)/ (20-5) = 6600 secondes soit environ 2h

 

Pour info  : Densité de l’air sec à la pression atmosphérique : environ 1,25 kg/m³

 

2) Après isolation

 

Dans le cas d'une isolation par l'extérieur la vêture isolante a pour effet de modifier l'évolution des températures dans le mur: En régime permanent, le béton se retrouve sensiblement à la moitié de la température intérieure à la boite constitué par l'immeuble. On profite alors de l'inertie thermique du béton lorsque l'on coupe la chaudière et la constante de temps augmente.

 

Application numérique

 

Nouvelle constante de temps t =  (V_a c_a+ m_b c_b) / ζ S  = t₁ + t₂

 

La constante de temps t₁ = 1075 s avant isolation est donc majoré de t₂   =  m_b c_b / ζ S

 

Soit avec un  ζ₂  moyen après isolation de 1,5  watt/m² °C  ce qui semble envisageable avec un coefficient de déperdition de 0,78 watt/m² °C au lieu de 4 (avec une vêture PIZ ou équivalente de 53 mm d'épaisseur sur les murs) et un ζ de 1,3 au lieu de 5,7 watt/m² °C  pour les vitres

Soit en première approximation    t₂  = ( 960 000 x 840)/(1,5 x 4700) = 115 000 secondes

Et une nouvelle constante de temps  de l'ordre 116 000 = 32 heures ce qui est beaucoup plus confortable mais qui va demander une certaine anticipation pour assurer la régulation. (correcteur intégrateur au niveau de la régulation de la PAC)

 

Nota

Le temps mis pour que la température chute de 3°C dans les appartements avec les mêmes conditions de température extérieure et intérieure lorsque l'on arrête la chaudière devient égal à (115 000 x 3)/ (20-5) = 23 000 secondes soit environ 6h