Comment est utilisée l'énergie thermique Wc délivrée par la pompe à chaleur?
Cette question prends de
plus en plus d'importance au fur et à mesure que l'on réalise que
l'énergie (celle obtenue par la combustion des produits fossiles) n'est pas
inépuisable. L'auteur de ce site en parallèle avec ses activités
professionnelles a créé pendant son temps libre un logiciel d'assistance
technique pour les équipements hydrauliques. Ces programmes scientifiques (dont
le langage source a été tenu secret jusqu'à présent sont toujours utilisés pas
sa société)
Lors de l'étude du rendement d'une pompe à chaleur, il n'a pu
s'empêcher de faire le rapprochement entre un des 25 programmes du logiciel OCES
(Oilgear Computer Engineering Service) et la façon dont l'énergie Wc
délivrée par la pompe à chaleur est utilisée au fin du chauffage de
l'habitation. Ce programme concerne le
bilan
thermique d'un équipement hydraulique . Il est basé sur le
principe de la conservation de l'énergie et a toujours donné des résultats remarquables très proches du
comportement thermique des équipements hydrauliques. L'analogie est pour finir
complète sur le plan théorique entre l'élévation de la température de l'huile
contenue dans le réservoir et celle de l'air à l'intérieur de l'immeuble.
L'auteur de ce site
livre à un bon mathématicien les calculs suivants. Il fait aussi un listing du
langage source de ce programme en BASIC qui amusera les programmeurs modernes en langage
C, PHP, Pascal1) ou autre compte tenu de sa lourdeur. Le lecteur peux accéder
directement à ce programme en ligne. Qu'il se rassure, bien que le programme
THE.exe soit un
programme exécutable aucun virus n'est inclus dans ce programme. Il laisse le
soin à un organisme spécialisé dans le bilan thermique des habitations de mettre
en pratique la théorie élaborée entre les deux tirets ci-dessous de telle sorte
qu'il soit possible à chaque particulier ou à une copropriété de prévoir le
comportement thermique de son habitation en fonction du volume de sa maison ou
de l'immeuble. Un coefficient ζ de déperdition pondéré des parois fonction des
surfaces vitrées en regard des murs devrait être déterminé avant d'appliquer brutalement la
formule. Un simple enregistrement des températures en régime transitoire lorsque
l'on arrête ou lorsque l'on met en marche la chaudière serait aussi très
instructif sur la qualité de l'isolation du bâtiment. Le rapprochement entre les
mesures effectués et la théorie permettrait certainement de mieux maîtriser
notre consommation énergétique et d'éviter les gaspillages.
Aspect thermique théorique
En régime transitoire la puissance de la chaudière P = Wc/t est principalement utilisée
pour réchauffer l'air ambiant à l'intérieur de l'immeuble.
Au fur et à mesure
que cet air se réchauffe une partie d'autant plus grande de la puissance
consommée est dissipée vers l'extérieur par conduction au travers des murs des
fenêtres et des plafonds terrasses.
Lorsque l'on atteint le régime permanent la température de l'air ambiant n'augmente plus et la puissance fournie par la chaudière est entièrement dissipée par conduction au travers des parois. (En l'absence de ventilation)
Le principe de la conservation de l'énergie permet d'écrire que pendant un temps dt l'énergie fournie par la chaudière a été utilisée à deux fins:
- La première a servi à élever de dθ la
température du volume d'air V à l’intérieur de l’habitation soit Vc dθ c étant la chaleur volumique de l'air en
joule/m3 et °C ( sensiblement
104 joule/m3 et °C
- La deuxième a été rayonnée vers l'extérieur
et a pour valeur ζ S θ dt
(ζ étant le coefficient de déperdition des parois exprimé en Watt/m² et °C
et S la surface des parois)
On a donc P étant la puissance de la
chaudière en watt Pdt = Vc dθ +
ζ S θ dt 1)
La formule 1) permet de d’étudier le
comportement de l’habitation en régime transitoire
En transformant cette équation et en intégrant on peut trouver comment varie la
température de l'air des appartements en régime transitoire, par exemple
l'élévation de cette température après un temps t quelconque.
___________________________________________________________calculs faux sous
cette ligne ( les formules sont homogènes mais fausses )
En effet, si l'on divise l'équation
ci-dessus par dt on obtient P= Vc dθ/dt + ζ S θ ou dθ/dt =P/Vc – (ζ S/Vc) θ
en posant A= ζ S/Vc et B= P/Vc on a dθ/(B-A θ)=dt et en intégrant 1) on a :
logn (B-A
θ)=-At+lognK
At = +lognK - logn (B-A
θ) = logn K/ (B-A θ)
Or si x = logn y on a
y = ex
On peut donc écrire avec x = At
et y = K/ (B-A θ) K/ (B-A θ) = e
At
Comme A= ζ S/Vc et B= P/Vc K/ (P/Vc - ζ S/Vc θ) = e ζ
S/Vc t K/ e ζ
S/Vc t = P/Vc - ζ S/Vc θ
ζ S/Vc θ = P/Vc - K/ e ζ S/Vc t soit
A)
La température maximum de stabilisation θmax = P/ ζ S s'obtient en faisant t = ∞
Inversement, cette formule permet de
trouver le coefficient moyen de déperdition des parois connaissant la
température maximum de stabilisation
ζ = P/ S θmax
B)
Variation la température de l'air après un temps quelconque t
(secondes)
si la température de l'air au temps t=0 a une valeur θ0 supérieure
à la température ambiante extérieure on trouve à partir de la relation 1)
θ0 = θmax
– KVc soit K = (θmax - θ0 )/ Vc et en reportant cette valeur dans 1) on a :
3)
Dans le cas particulier ou l'on met en marche la chaudière et ou ou θ0= 0 (chaudière arrêtée depuis longtemps) on a K = θmax / Vc soit :
4)
C)
Comment varie la température dans les appartements lorsque l'on arrête la
chaudière
Il suffit de faire P=0 dans la formule 1) soit avec K = (θmax - θ0 )/Vc θ = θmax - (θmax - θ0 )/ e ζ S/Vc t 4)
1) Ces
formules élaborés péniblement par l'auteur de ce site ont été vérifiés par un
mathématicien italien:
.
Merci de lire "après un
temps t quelconque"
.
En effet,
si l’on divise l’équation ci-dessus par 
, on obtient :
c’est à
dire : 
et, en
posant : 
et 
on obtient : 
Il s’agit
d’une équation différentielle linéaire du premier ordre et degré, à
coefficients constants.
En la multipliant pour un facteur intégratif (integrating factor) 
, on obtient :
→ 
donc : 
et, encore : 
La
constante C est déterminée par les conditions initiales :
→ 
Ce qui
donne : 
donc : 
et,
finalement : 
En
conclusion, dans une phase de réchauffement, l’augmentation asymptotique de la
température (pour 
) est indépendante de 
,
tandis que la constante de temps du transitoire est donnée
par l'inverse du rapport ζ S/Vc
En faisant
un calcul complémentaire, on trouverait que, dans une phase de refroidissement,
la loi est la suivante :
Dans les deux
dernières formules 2) et 3) , θ0 est la température
initiale pour t = 0
Dans le deuxième cas de figure, il s’agit de la température au moment de
l’interruption du chauffage
Application numérique
Hypothèses
Prenons le cas d’un grand immeuble construit en 1970 et assez bien isolé pour l’époque mais en
retard par rapport aux normes actuelles comprenant une centaine de petits
appartements de 60m² nécessitant une puissance P = 200 kW (204 Watts) pour atteindre une température
maximum θmax = 20°C dans les appartements avec une température
de 0°C extérieur. Le volume d'air des appartements est estimé à V= 15 600 m3
(hauteur de plafond 2,6m) et une surface
totale des parois (terrasses, murs, surfaces vitrées et sous sol) S en m² estimé de l’ordre de 4700 m² . Connaissant la
chaleur volumique de l'air c de 1,250
kilojoules/ m3 et °C on se
propose de trouver le gradian maximum de montée en température et de chute de
température en régime transitoire quand on met la chaudière en marche ou
lorsqu’on l’arrête ainsi que le coefficient de déperdition moyen* des parois
ζ en Watt/m² et °C de cet immeuble.
A
) Gradian maximum de montée en températuree en régime transitoire.
Pour l'obtenir il suffit d'écrire que
l'énergie fournie par la chaudière au début de la chauffe part uniquement en
élévation de la température de l'air (température suffisamment proche de la
température extérieure dans les appartements pour que la déperdition par les
murs soit négligeable). Soit P dt = V c dθ ou
dθ / dt = P/ Vc = 204 / 16 000 x 1250 = 0,0186
°C/seconde (1,12°C/mn) soit une constante de temps du transitoire
t égale à 20/0,0186 = 1075 s
Si la chaudière est mise en marche alors que
la température dans les appartement est égale à la température extérieure de
0°C la température maximum de 20°C dans les appartement est sensiblement
atteinte après un temps de montée en température de 4
t = 71 minutes soit environ 1h ¼
La connaissance de la constante de temps du
transitoire
t =Vc
/ζ S = 1075 s
permet de calculer le coefficient de
déperdition moyen des parois ζ = Vc
/
t S = (16 000
x 1250) / (1075x4700) » 4
watt /m² et °C
B) Gradian maximum de chute de température lorsque l'on arrête la chaudière (régime transitoire)
Pour l'obtenir il suffit d'écrire que lorsque l'on coupe la chaudière alors que l'on avait atteint la température maximum de stabilisation θmax = 20°C l'énergie dissipée par les murs continue à être égale momentanément à celle qui était fournie par la chaudière avant la coupure. Soit en faisant P = 0 dans la formule 1) Vc dθ + ζ S θmax dt = 0
dθ / dt = - ζ S θmax
/ Vc = 4 x 4700 x 20 / 15600 x 1250 = - 0,0186 °C/seconde on retrouve (en
valeur absolue) le même gradian maximum au début du refroidissement. Ce résultat
est d’ailleurs conforme aux deux formules 2) et 3) ci-dessus la constante de
temps du transitoire étant la même que l’on soit en phase de réchauffement où de
refroidissement. Au bout d’un temps de l’ordre de environ
Il n’est pas besoin de grelotter pour avoir une bonne idée de la qualité del’isolation de l’immeuble.
La mesure du temps qui s’écoule entre l’instant où l’on coupe la chaufferie avec une température initiale, de par exemple 20°C, et celui où l’on atteind deux autres températurelors disons 18 et 16°C est suffisante.
Nota
Les valeurs ci-dessus correspondent à la dépense énergétique d’un gros immeuble datant des années 60 situé en banlieu parisienne et ayant une de surface habitable totale de l'ordre de 6000 m² et consommant bon an mal an 150 m3 de fioul par an. Cet immeuble, pourtant correctement isolé pour l’époque a un coefficient moyen de déperdition par m² habitable de l’ordre de 250 kWh/par an nettement supérieur aux normes actuelles (80 kWh/par an en 2000 et évoluant vers 50 en 2020). La précision de ces derniers coefficients qui ne tiennent pas compte de la température extérieur alors qu’un hivers peut être plus ou moins rigoureux laissent à désirer. Rien que la surface de 650 m² des ouvertures en simple vitrage de cet immeuble ayant un coefficient ζ » 6 wtt /m² et °C provoque une perte de puissance correspondant à environ 40% de la consommation totale ( 650 x 20 x 6 = 78 000 watt soit près de 80 kW)*. Cette puissance peut être divisée environ par 6 avec un double vitrage 4/16/4 à isolation thermique renforcée (argon et couche métallique)
* La qualité de l'isolement de l'immeuble est aussi influencé par :
-
La ventilation,
-
Les déperditions par les cages d'ascenseur
-
Les déperditions par les planchers bas lorsque les sous sol de l'immeuble est transformé en parking et est ouvert vers l'extérieur
-
Les déperditions en terrasse
- Densité de l’air sec à la pression atmosphérique : environ 1,25 kg/m3
- Equivalent calorifique de un litre de fuel (10 kWh)
- La dépense annuelle correspondant au remboursement d’un emprunt de 900 000 EUROS* sur 8 ans couvrant sensiblement le financement d’une PAC à eau de 250 kW suffisante pour fournir les besoins énergétiques de l’immeuble ci-dessus est à peine plus élevée que la dépense annuelle correspondant à l’achat des 150 m3 de fioul. (90 000 EUROS)
- Tout calculs confondus, - on se demande d’ailleurs pourquoi ils sont aussi complexe à calculer-, la région prend à sa charge environ sensiblement 50% de la dépense correspondant à l’implantation de la PAC (Etude préliminaire, forages, matériels et MO)
*Les prix indiqués par l'Ademe (80 à 160 EUROS/m² habitable) pour l’implantation d’une PAC sur eau de nappe semblent élevés compte tenu de l’effort de standardisation des constructeurs. Aspect très intéressant les coûts de fonctionnement sont par contre très faibles : au maximum de 2,3 à 3,5 € TTC par m2 habitable et par an. De ce fait après la période de 8 ans de financement de la PAC à eau, l‘économie pour la copropriété est importante. Il reste à espérer que les nouvelles normes en cours de préparation suite au Grenelle de l’environnement et ayant entre autre pour but de faciliter la rénovation des bâtiments anciens prendront en compte les contrats particuliers qui devront être consentis par l’EDF pour l’entraînement du compresseur de la PAC.
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Listing du programme source avant compilation THE.bas
REM bilan thermique installation hydraulique THE-E
CLS : KEY OFF
PRINT : PRINT
TAB(10); "BILAN THERMIQUE EQUIPEMENT HYDRAULIQUE"
PRINT
INPUT "capacité du réservoir
en huile .. m3"; V
INPUT "puissance dissipée
dans le r‚servoir .. kw"; PUIS
INPUT "température
ambiante.... øC"; TA
S = 9.2 * (V / 2.4) ^ .6666
DENS = 850
GRAD =
(PUIS * 10 ^ 3 * 3600) / (V * DENS * 1000 * .5 * 4.18)
REM COEF coefficient de deperdition du reservoir en watt/cm2 et deg C depent de
la facon dont le reservoir est ventile.valeur moyenne 0,00397
COEF = .00397
TEMP = (PUIS * 10 ^ 3) /
(COEF * S * 10 ^ 4)
DT = (PUIS * 10 ^ 3 * 60) /
(4.18 * V * 10 ^ 5 * .4)
DT = (PUIS * 10 ^ 3 * 60) / (4.18 * V * 10 ^
5 * .4)
A = (.00397 * S * 10 ^ 4) / (V * 10 ^ 6 *
.85 * .5 * 4.18)
B = (.00397 * S * 10 ^ 4 * (50 - TA)) /
(PUIS * 10 ^ 3)
IF B <= 1 THEN C = B ELSE C = -1000000!
T = LOG(1 - C) /
(-60 * A)
PRINT : PRINT : PRINT : PRINT
: PRINT : PRINT : PRINT : PRINT : PRINT
PRINT "BILAN THERMIQUE
DE VOTRE EQUIPEMENT HYDRAULIQUE"
PRINT
PRINT
"<ENTREES>"
PRINT
PRINT "capacit‚ en huile
du r‚servoir="; V; "m3"
PRINT "puissance
dissip‚e dans le r‚servoir="; PUIS; "kw"
PRINT "temp‚rature
ambiante="; TA; "øC"
PRINT
PRINT
"<SORTIES>"
PRINT
PRINT "surface du
r‚servoir="; S; "mý"
PRINT "gradian maxi de
mont‚e en temp‚rature="; GRAD; "øC /heure"
PRINT "temp‚rature
maximum de l'huile="; TEMP + TA; "øC"
IF (TEMP + TA) <= 50 THEN 350
IF (TEMP + TA) > 50 THEN 380
350 PRINT "un ‚changeur de temp‚rature n'est pas
indispensable"
PRINT
INPUT "voulez-vous
imprimer le r‚sultat sur votre imprimante"; ci$
IF ci$ <> "o" AND ci$
<> "O" THEN END
IF ci$ = "o" OR ci$ = "O"
THEN 2135
2135 PRINT
INPUT "CLIENT: ",
CLIENT$
INPUT "num‚ro dossier: ", NUM$
INPUT "type d'‚quipement
:", T$
PRINT
LPRINT : LPRINT : LPRINT
"CLIENT :"; CLIENT$: LPRINT "NUMERO DOSSIER :"; NUM$:
LPRINT "type d'‚quipement :"; T$: LPRINT
LPRINT
LPRINT "BILAN THERMIQUE
D'UN EQUIPEMENT HYDRAULIQUE"
LPRINT
LPRINT
LPRINT "ENTREES"
LPRINT
LPRINT "capacit‚ en
huile du r‚servoir="; V; "m3"
LPRINT "puissance
dissip‚e dans le reservoir="; PUIS; "kw"
LPRINT "temp‚rature
ambiante="; TA; "øC"
LPRINT
LPRINT "SORTIES"
LPRINT
LPRINT "surface du
r‚servoir="; S; "mý"
LPRINT "gradian maximum
de mont‚e en temp‚rature="; GRAD; "øC /heure"
LPRINT "temp‚rature
maximum de l'huile="; TEMP + TA; "øC"
LPRINT
LPRINT "Un ‚changeur de
temp‚rature n'est pas indispensable"
END
380 PRINT "temps mis pour atteindre 50 øC sans ‚changeur=";
T; "minutes"
PRINT
PRINT "d‚bit de
refroidissement et de filtration recommand‚="; V * 100; "l/mn"
PRINT "diff‚rentiel de
temp‚rature d'huile dans l'‚changeur="; DT; "øC"
PRINT "Débit d'eau de refroidissement:consulter votre fournisseur ce débit
varie suivant le type d'échangeur(tube ou plaque), et la température
de l'eau à l'entrée de
l'échangeur..."
PRINT
INPUT "voulez-vous
imprimer le résultat sur votre imprimante"; ci$
IF ci$ <> "o" AND ci$
<> "O" THEN END
IF ci$ = "o" OR ci$ = "O"
THEN 2136
2136 PRINT
INPUT "CLIENT: ", CLIENT$
INPUT "num‚ro dossier: ", NUM$
INPUT "type d'équipement
:", T$
LPRINT : LPRINT : LPRINT "CLIENT :"; CLIENT$: LPRINT
"NUMERO DOSSIER :"; NUM$: LPRINT "type d'‚quipement :"; T$:
LPRINT
LPRINT
LPRINT "BILAN THERMIQUE
D'UN EQUIPEMENT HYDRAULIQUE"
LPRINT
LPRINT
LPRINT "ENTREES"
LPRINT
LPRINT "capacité en
huile du réservoir="; V; "m3"
LPRINT "puissance dissipée
dans le reservoir="; PUIS; "kw"
LPRINT "température
ambiante="; TA; "øC"
LPRINT
LPRINT "SORTIES"
LPRINT
LPRINT "surface du réservoir=";
S; "mý"
LPRINT "gradian maximum
de montée en temp‚rature="; GRAD; "øC /heure"
LPRINT "température
maximum de l'huile="; TEMP + TA; "øC"
LPRINT "temps mis pour
atteindre 50 øC sans ‚changeur="; T; "minutes"
LPRINT
LPRINT "débit d'huile
recommandé‚ pour le refroidissement et la filtration ="; V * 100;
"l/mn"
LPRINT "différentiel de
température d'huile dans l'échangeur="; DT; "øC"
LPRINT "Débit d'eau de
refroidissement (consulter votre fournisseur ce débit variant suivant le type d'échangeur
(tube ou plaque) et la température
de l'eau."
END
1) Juste récompense d'avoir honoré
Blaise Pascal en donnant son nom à un langage scientifique.
C'est en 1645 plusieurs siècles
avant l'arrivée de l'ordinateur et à l'age de 18 ans qu'il imagine, fait
reconnaître ses droits de propriété, et commercialise
cette incroyable "machine à
penser" à roues dentées capable d'additionner ou de soustraire des nombres
de 12 chiffres et déjà basée sur le langage binaire.
Ne pas manquer de lire "Blaise Pascal ou le génie français"
de Jacques Attali. Il y retrace la vie de ce génie universel et de l'incroyable
précurseur que fut Blaise Pascal